Cálculo: Funções – conceito e alguns tipos (inversa, irracional, modular, exponencial, logarítmica e de 2º Grau )

 

Conceito de Função

 

Dados os conjuntos A e B, dizemos que uma relação y = f(x) é uma função de A em B se, e somente se, a cada elemento x, x contido em A corresponder por f um único y, y contido em B. Os conjunto s A e B são chamados respectivamente de domínio e contra domínio.

 

Notação : f: A g B

 

Exemplo:

Sejam A = {0, 1, 2}, B = {0, 1, 2, 3, 4} e a função f: A g B, f(x) = x²

Temos:

 

No nosso exemplo a I_m = { 0, 1, 4}

 

Numa função, quando não são fornecidos o domínio e o contradomínio, subentende-se que o domínio é o conjunto de todos os valores reais de x tais que f(x) seja real e o contradomínio é o conjunto dos números reais.

 

Exemplos de domínio e tipos de algumas funções, com seus respectivos gráficos nas páginas seguintes:

 

I.             Função Inversa

f(x)=1/x

 

Domínio = R-{0}

 

Seguindo a orientação de que X não pode ser igual a 0, a tabela foi construída da seguinte forma, mas o gráfico foi representado de forma errônea:

 

A solução encontrada foi deixar uma linha antes dos valores de x tornarem-se positivos:

II.             Função Irracional

 

III.             Função modular

 

f(x) = |x+1|

D=R

Observação: O Excel 97 não possui a função “módulo”, que multiplicaria o valor de f(x) por (-1) caso fosse f(x) negativo. Assim, faz-se necessário o uso de uma coluna auxiliar.

Isto na prática:

 

IV.             Função Exponencial

 

f(x)=2^x

 

D=R

Usando a função POTÊNCIA(número, valor) do Excel

V.             Função Logarítmica

 

f(x)=log₂ 10

D=R*

Função do 2º Grau

 

A função de 2º grau é do tipo f: R  →  R  com f(x) = ax² + bx + c e a diferente de 0.

O gráfico da função de 2º grau é uma parábola com o eixo de simetria paralelo ao eixo y.

 

Concavidade

 

Se a > 0, a parábola terá a concavidade voltada para cima e se a < 0, a concavidade será voltada para baixo.

 

Vértice

 

O vértice da parábola é obtido por:

 

Sob quaisquer condições a parábola intercepta o eixo y no ponto de ordenada “c”.

 

Estudo de sinais

 

Estudar o sinal da função f(x) = ax² + bx + c é estudar o sinal de y segundo os valores de x. Para isto, basta esboçar o gráfico em relação ao eixo x.

 

x² – 4x + 3 = 0

x^I = 1                     x^II = 3

 

Daí:

y = 0 se x =1 ou x = 3

y > 0 se x <1 ou x > 3

                    y < 0 se x >1 ou  x< 3